หลายสิ่งอันดับ หรือ ทูเพิล (อังกฤษ: tuple) เป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ชนิดหนึ่ง โดย
-สิ่งอันดับ เป็นลำดับของสิ่ง
สิ่ง (เมื่อ
เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ) โดยที่อันดับของสิ่งต่าง ๆ ในหลายสิ่งอันดับนั้นมีความสำคัญและไม่สามารถสลับที่ได้ คุณสมบัติดังกล่าวนี้เองทำให้หลายสิ่งอันดับแตกต่างจากเซต การเขียนหลายสิ่งอันดับมักเขียนระบุสิ่งต่าง ๆ ในหลายสิ่งอันดับนั้น คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค และครอบด้วยเครื่องหมายวงเล็บ เช่น
เป็นห้าสิ่งลำดับ ซึ่งแตกต่างจากห้าสิ่งอันดับ
หากหลายสิ่งอันดับนั้นมีสองสิ่ง จะมีชื่อเรียกเฉพาะว่าคู่อันดับ
ในคณิตศาสตร์ หลายสิ่งอันดับสามารถนำไปใช้อธิบายวัตถุทางคณิตศาสตร์ชนิดอื่น ๆ ได้ เช่นเวกเตอร์ ส่วนในการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ โดยเฉพาะการเขียนโปรแกรมเชิงฟังก์ชัน หลายสิ่งอันดับเป็นชนิดของตัวแปรที่มีความสำคัญ นอกจากนี้แล้วยังพบการใช้หลายสิ่งอันดับในศาสตร์อื่น ๆ เช่น ภาษาศาสตร์[1] และปรัชญา[2]
คุณสมบัติ[แก้]
โดยทั่วไปแล้ว จะกำหนดให้
-สิ่งอันดับเท่ากัน ก็ต่อเมื่อสิ่งที่อยู่ในตำแหน่งตรงกันนั้นเท่ากันทั้งหมด นั่นคือ
ก็ต่อเมื่อ ![{\displaystyle a_{1}=b_{1},{\text{ }}a_{2}=b_{2},{\text{ }}\ldots ,{\text{ }}a_{n}=b_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd70c153afdf9a8580da4b257c918837aa266ce5)
คุณสมบัติดังกล่าวทำให้หลายสิ่งอันดับมีความแตกต่างจากเซต ด้วยเหตุผลดังต่อไปนี้
- หลายสิ่งอันดับอาจมีแต่ละสิ่งเป็นจำนวนมากกว่าหนึ่งก็ได้ และจำนวนของสิ่งที่แตกต่างกันทำให้หลายสิ่งอันดับเปลี่ยนไป เช่น หลายสิ่งอันดับ
แต่เซต ![{\displaystyle \{1,2,2,3\}=\{1,2,3\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f04a7126a817675476ef684c59e9f83a0b414a1f)
- อันดับของสิ่งต่าง ๆ ในหลายสิ่งอันดับนั้นมีความสำคัญและไม่สามารถสลับที่ได้ เช่น หลายสิ่งอันดับ
แต่เซต ![{\displaystyle \{1,2,3\}=\{3,2,1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04feef21743d18c28161ceb0349fd4b9c2fac481)
- หลายสิ่งอันดับจะมีจำนวนสิ่งไม่เป็นอนันต์ ส่วนเซตนั้นจะมีจำนวนสมาชิกเป็นอนันต์หรือไม่ก็ได้
นิยาม[แก้]
หลายสิ่งอันดับนั้นสามารถกำหนดนิยามได้หลายแบบโดยที่ยังสอดคล้องกับคุณสมบัติที่ต้องการข้างต้น ดังต่อไปนี้
นิยามด้วยฟังก์ชัน[แก้]
ในเชิงทฤษฎีเซต อาจนิยาม
-สิ่งอันดับเป็นฟังก์ชัน F ที่มีโดเมนเป็นเซต X ของตำแหน่งต่าง ๆ ในหลายสิ่งอันดับ และโคโดเมนเป็นเซต Y ของสิ่งต่าง ๆ ในหลายสิ่งอันดับ นั่นคือ นิยามให้
-สิ่งอันดับ คือ
![{\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\equiv (X,Y,F)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8c39cdc2e0c9aa8e719c000d7bb4ff8d03bd224)
เมื่อ
![{\displaystyle {\begin{aligned}X&=\{1,2,\dots ,n\}\\Y&=\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\}\\F&=\{(1,a_{1}),(2,a_{2}),\ldots ,(n,a_{n})\}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d1df1dd59619b671c80b0d9e216a9a369e4b189)
หรืออาจเขียนในรูปลำลองได้เป็น
![{\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}):=(F(1),F(2),\dots ,F(n))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b092622f4913b92abdbf69195b3591428509a12b)
นิยามด้วยคู่ลำดับซ้อน[แก้]
ในเชิงทฤษฎีเซตสามารถนิยาม
-สิ่งอันดับได้อีกวิธีหนึ่ง นั่นคือ การใช้คู่อันดับซ้อน วิธีการนี้สมมติว่ามีการกำหนดนิยามคู่อันดับไว้เรียบร้อยแล้ว จากนั้นนำมาขยายเป็นนิยามของ
-สิ่งอันดับ โดยนิยามแบบเวียนเกิดดังนี้
- 0-สิ่งอันดับสามารถแทนได้ด้วยเซตว่าง
![{\displaystyle \emptyset }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6af50205f42bb2ec3c666b7b847d2c7f96e464c7)
-สิ่งอันดับ เมื่อ
นิยามให้เป็นคู่อันดับที่มีสมาชิกตัวหน้าเป็นสิ่งสิ่งแรก และสมาชิกตัวหลังเป็น
-สิ่งอันดับของสิ่งที่เหลือ นั่นคือ
![{\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})=(a_{1},(a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2698402ce9489cc8059e92ff8e5dbf8a1589b301)
เมื่อใช้นิยามนี้แบบเวียนเกิดจะได้ว่า
![{\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})=(a_{1},(a_{2},(a_{3},(\ldots ,(a_{n},\emptyset )\ldots ))))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86d7088e31e634c43425cfbdc23d19e20bd4b699)
ตัวอย่างเช่น
![{\displaystyle {\begin{aligned}(1,2,3)&=(1,(2,(3,\emptyset )))\\(1,2,3,4)&=(1,(2,(3,(4,\emptyset ))))\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3656e1d003f033bc8a46dad6198f35cf84dadb3a)
หรืออาจกำหนดนิยามในทิศทางตรงข้ามก็ได้ ดังนี้
- 0-สิ่งอันดับสามารถแทนได้ด้วยเซตว่าง
![{\displaystyle \emptyset }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6af50205f42bb2ec3c666b7b847d2c7f96e464c7)
-สิ่งอันดับ เมื่อ
นิยามให้เป็นคู่อันดับที่มีสมาชิกตัวหลังเป็นสิ่งสิ่งสุดท้าย และสมาชิกตัวหน้าเป็น
-สิ่งอันดับของสิ่งที่เหลือ นั่นคือ
![{\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})=((a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n-1}),a_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e930380928a844376aa6bf8737dbb65b5a789ec)
เมื่อใช้นิยามแบบเวียนเกิดจะได้ว่า
![{\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})=((\ldots (((\emptyset ,a_{1}),a_{2}),a_{3}),\ldots ),a_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b973e7b4db6ce38786bf2affa33fbdccfa66410)
ตัวอย่างเช่น
![{\displaystyle {\begin{aligned}(1,2,3)&=(((\emptyset ,1),2),3)\\(1,2,3,4)&=((((\emptyset ,1),2),3),4)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/118f0960978983f2adab89a72c1b80d7774787ea)
นิยามด้วยเซตซ้อน[แก้]
เมื่อนำนิยามข้างต้นมาประกอบกับ นิยามคู่อันดับของคูระทาวสกี จะได้นิยามของ
-สิ่งอันดับ ที่เป็นนิยามในรูปทฤษฎีเซตแท้ ดังนี้
- 0-สิ่งอันดับสามารถแทนได้ด้วยเซตว่าง
![{\displaystyle \emptyset }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6af50205f42bb2ec3c666b7b847d2c7f96e464c7)
- กำหนดให้
เป็น
-สิ่งอันดับ
และกำหนดให้
จะได้ว่า
(เรียกว่า
เชื่อมกับ
)
ตัวอย่างเช่น
![{\displaystyle {\begin{array}{lclcl}()&&&=&\emptyset \\&&&&\\(1)&=&()\rightarrow 1&=&\{\{()\},\{(),1\}\}\\&&&=&\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\}\\&&&&\\(1,2)&=&(1)\rightarrow 2&=&\{\{(1)\},\{(1),2\}\}\\&&&=&\{\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\}\},\\&&&&\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\},2\}\}\\&&&&\\(1,2,3)&=&(1,2)\rightarrow 3&=&\{\{(1,2)\},\{(1,2),3\}\}\\&&&=&\{\{\{\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\}\},\\&&&&\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\},2\}\}\},\\&&&&\{\{\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\}\},\\&&&&\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\},2\}\},3\}\}\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5654421f5c61a66d3dd75921c42fb9de304b727b)
อ้างอิง[แก้]
- D'Angelo, John P.; West, Douglas B. (2000), Mathematical Thinking / Problem-Solving and Proofs (2nd ed.), Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-014412-6
- Keith Devlin, The Joy of Sets. Springer Verlag, 2nd ed., 1993, ISBN 0-387-94094-4, pp. 7–8
- Abraham Adolf Fraenkel, Yehoshua Bar-Hillel, Azriel Lévy, Foundations of set theory, Elsevier Studies in Logic Vol. 67, Edition 2, revised, 1973, ISBN 0-7204-2270-1, p. 33
- Gaisi Takeuti, W. M. Zaring, Introduction to Axiomatic Set Theory, Springer GTM 1, 1971, ISBN 978-0-387-90024-7, p. 14
- George J. Tourlakis, Lecture Notes in Logic and Set Theory. Volume 2: Set theory, Cambridge University Press, 2003, ISBN 978-0-521-75374-6, pp. 182–193